Ecuaciones cuadráticas completas:

Hola a todos, he visto en el salón que este tema se dificulta, así que voy a dar una explicación para los estudiantes a los que se les dificulte éste tema, para ello usaré Geogebra y el complemento Microsoft Mathematics, que me facilita mucho el trabajo.

Primero, vamos a definir muy resumidamente qué es una función cuadrática: "Una función cuadrática es una función de la forma f (x) = ax^2 + bx + c, donde a,b y c pertenecen a los números reales y a ≠ 0".

En la gráfica de una función cuadrática, vamos a encontrar 4 puntos importantes: el vértice, puntos de corte con el eje X y el punto de corte con el eje Y. Para explicarme mejor usare un ejemplo:

Si te fijas esta es la gráfica de la función f (x) = x^2 + 8x + 12 (donde a = 1, b = 8 y c = 12), en ella señalé 4 puntos:

• A (-6,0) y B (-2,0): Estos son los puntos de corte con el eje X, ya que aquí la función interseca al eje X (esto pasa cuando cuando Y = 0).
• C (0, 12): Este es el punto de corte con el eje Y, ya que aquí la función interseca al eje Y (esto pasa cuando X = 0).
• D (-4, -4): Este es el vértice, en esta función este es el punto más bajo (esto se da porque la función abre hacia arriba, por que a > 0, sí fuese a < 0 la función abriría hacia abajo y el vértice sería el punto más alto) y interseca al eje de simetría.

Ya recordamos que es una función cuadrática, su gráfica y sus partes, ahora vamos a hallar sus partes.

Hallando el vértice:

La expresión del vértice es: V = (h, k), donde h = -b/(2a) y k = f (h). Para explicarme mejor hallaremos el vértice del ejemplo anterior:

Hallando el punto de corte con el eje Y:

El punto de corte con el eje Y es el punto de intersección entre la función y el eje Y, y este punto tiene como X = 0, conociendo esto aplicaremos la siguiente formula: y = ax^2 + bx + c.
¿Les suena de algo esta formula?, pues es prácticamente la misma estructura de una ecuación cuadrática, ahora hallare el punto de corte con el eje Y del ejemplo anterior:

Hallando puntos de corte con el eje X:

Los punto de corte con el eje X son los puntos de intersección entre el eje X y la función, estos puntos tienen como Y = 0. Hay 2 formas de hallarlos:

Usando los casos de factorización:

Podemos hallar los puntos de corte con el eje X usando los casos de factorización, por lo tanto recomiendo estudiarlos si piensas usar este método. También es necesario recordad que este método solo se puede usar con las funciones que cumplan las condiciones para ser factorizadas, por lo tanto no todas las funciones pueden ser factorizadas.

Usando la formula general:

Podemos hallar los puntos de corte con el eje X usando esta formula: x = (-b±√(b^2-4ac))/2a. Ya teniendo todo esto en mente colocaré un ejemplo de su aplicación: 

Bueno esto es todo, espero que les haya sido de ayuda, cualquier duda me la pueden dar a saber abajo en los comentarios, y si quieren comunicarse con mi persona también hay un formulario más abajo. Suerte 😄

Elaborado por: Emmanuel David Angarita Quintanilla.